БАРОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА

Я не силен в математике. Назад!

Некоторые приключения моих героев могут показаться странными – экипаж «Дракона», к примеру, довольно легко переносит кислородное голодание на высоте в 7 километров. Все дело в атмосфере Мира. Для любой атмосферы основной характеристикой является ее химический состав и зависимость давления от высоты, задаваемой барометрическая формулой:

                                                 z

   p (z) = p₀ exp(–µ/R ∫g(z)/T(z) dz),        (1)

                                                ₀

       где

                        z – высота, м;

                        p (z) – атмосферное давление на высоте z;

                        p₀  – атмосферное давление на уровне моря;

                        µ – молекулярный вес воздуха;

                        R – универсальная газовая постоянная = 8314;

                        g(z) – ускорение силы тяжести, м/сек²;

                        T(z) – абсолютная температура, ⁰К;

        Зависимость температуры от высоты:

 T(z) = T₀ – bz,                                                   (2)

        b – коэффициент падения температуры с высотой, град/м.

Подставив (2) в (1), после интегрирования получим формулы т.н. «стандартной атмосферы» (СА):  

p (z) / p₀  = (1 – bz/T₀ ) ^µg/Rb                      (3)                                            

ρ(z) / ρ ₀  = (1 – bz/T₀ ) ^{µg/Rb – 1}                   (4)

Здесь ρ(z), ρ ₀  – плотность воздуха на высоте z и на уровне моря, кг/м³.

Для Терры T₀  = 288 ⁰К, µ = 29, g = g(0) = 9.81 м/сек², b = 6.5⁰ / 1000 м.

Совпадение с общеупотребительным справочником СА блистательное – с точностью до 1%.

ЗАМЕЧАНИЕ. Если не учитывать падение температуры с высотой, приняв b -> 0, то получится знакомая по школьным учебникам физики, более простая, но чуть менее точная формула:

p (z) / p₀   = e^-µgh/RT                                        (4a)

Величину RT/µg называют "характеристической высотой" - для вышеупомянутых значений T и g она составит 8417 м. Для расчетов по формуле обычно принимают круглое значение 8000 м.

       Введем дополнительные обозначения:

       m  –  полная масса дирижабля (конструкции, полезной нагрузки, балласта и горючего), кг;

       V  – газовый объем дирижабля, м³;

       ρ_*  – плотность газа, используемого в дирижабле для создания

подъемной силы, кг/м³. (подразумеваются температура и давление на уровне моря, предполагается, что плотность газа поддерживается при неизменном объеме на любой высоте постоянной за счет контроля за температурой внутри корпуса).

       Из уравнения статического равновесия (вспомним закон Архимеда!)

g ρ(z)V = mg + g ρ_*V

учитывая (4), определим высоту подъема дирижабля:

z = T₀/b (1 – ((m+ρ_*V) / (ρ ₀ V))^{Rb/(μg–Rb)} )

       Для Мира T₀  = 288 ⁰К, µ = 28.6, g = 9.52 м/сек2, b = 4.6⁰ / 1000 м.

Падение температуры с высотой более медленное, потому что радиус Мира больше.

       Вот сравнение стандартных атмосфер Терры и Мира. Атмосферное давление на Мире падает с высотой не так быстро. Важное наблюдение: на любую гору Мира (все они не выше 6.5 км) можно взойти без кислородной маски.

  Назад